▷Lineare Funktionen: alles, was Sie wissen müssen! (2023)

Eine lineare Funktion ist die einfachste Form einer Funktion. | Foto: ThisisEngineering RAEng/Unsplash

Definition: Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion ist eine Integralfunktion erster Ordnung. Sie stellt einen linearen Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und dem Wertebereich her. Linear bedeutet, dass es gleichmäßig zunimmt oder abnimmt. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Es kann aufsteigend, absteigend oder horizontal sein.

Was eine lineare Funktion ist, lässt sich am besten an einem Beispiel erklären: Wenn Sie im Supermarkt eine Flasche Limonade kaufen möchten, kostet diese 1,50 Euro. Wer zwei kauft, muss das Doppelte zahlen, nämlich 3,00 Euro. Den Zusammenhang zwischen Limonadenmenge und Preis lässt sich am besten in einer Wertetabelle darstellen:

offiziell

Die Formel für eine lineare Funktion lautet y=m*x+t. m ist die Steigung, x ist die Variable und t ist der y-Achsenabschnitt.

die Piste

m ist die Steigung der linearen Funktion. Sie gibt an, wie schnell sich der Wert der Funktion ändert. Es gilt:

m>0 → linearer Anstieg

m=0 → die Linie ist horizontal

m<0 → gerade nach unten

Der einfachste Weg, die Steigung zu bestimmen, ist die Verwendung eines Steigungsdreiecks. Sie wählen zwei Punkte auf der Linie aus: P und Q . Diese beiden Punkte erzeugen ein rechtwinkliges Dreieck, in das Sie zeichnen können. Dies ist das Verlaufsdreieck. Nun dividieren Sie die vertikale Länge

mit horizontaler Länge

Wenn die Steigung beispielsweise -5 beträgt, verschieben Sie sich im Steigungsdreieck immer um 5 Punkte nach unten und nach rechts. Wenn die Steigung 3 beträgt, gehen Sie 1 Einheit nach rechts und dann 3 Einheiten nach oben.

Aber Sie müssen nicht jedes Mal ein Koordinatensystem mit schrägen Dreiecken zeichnen. Die Steigung kann auch mit der Formel berechnet werden

Berechnung.

In unserem Beispiel können Sie berechnen:

Die Steigung beträgt also 1,50.

y-Achsenabschnitt

Wie oben erwähnt, hat eine lineare Funktion nicht nur eine Steigung, sondern auch einen y-Achsenabschnitt. Der Y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Linie die Y-Achse schneidet.

Den y-Achsenabschnitt können Sie natürlich problemlos im Koordinatensystem ablesen. Man kann es aber auch berechnen. Wiederum bei zwei gegebenen Punkten wird die Steigung wie oben berechnet. Sie setzen die Steigung und einen der beiden Punkte in die Gleichung y=m*x+t ein. Lösen Sie dann die Gleichung nach t auf, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten.

Für unser Beispiel haben wir die Steigung ermittelt. Also geben wir für m und Punkt (6😱4) 1,50 ein. Dann ergibt sich die Gleichung 6= 1,50*4 + t. In diesem Fall ist die Berechnung recht einfach. Da 1,50*4=6 ist, ist der y-Achsenabschnitt 0, und die Linie, die durch den Punkt (0|0) verläuft, wird als Linie bezeichnet, die durch den Ursprung verläuft. Sie verlaufen durch den Ursprung des Koordinatensystems.

Stellen Sie die Gleichung einer Geraden auf

Abhängig von den Informationen, die Sie bereits haben, gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Gleichung der Geraden f(x)= m*x + t zu formulieren:

• von einem Punkt und einer Neigung
• Schnittpunkt von einem Punkt und y
• aus zwei Punkten

Stellen Sie die Gleichung einer Geraden von einem Punkt zu einer Steigung auf

Bei gegebenem Punkt P(x|y) und Steigung m können Sie so vorgehen, als würden Sie den y-Achsenabschnitt ermitteln. Sie setzen m und den Punkt in die Funktion ein und lösen nach t. Anschließend können Sie m und t durch die Zahlen im Funktionsausdruck ersetzen.

Beispiel:

m = 3 und P (-1丨1)

Setzen Sie m und P in die Gleichung ein und lösen Sie nach t auf:

1 = 3*(-1) + t

1= -3 +t丨+3

4 = Tonnen

Die Gleichung für eine Gerade lautet: f(x)=3*x + 4

Sei die Gleichung der Geraden von einem Punkt zum y-Achsenabschnitt

Ebenso können Sie den Punkt P(x|y) und den y-Achsenabschnitt in der Funktion verwenden. Lösen Sie nun nach m auf, um die Steigung zu erhalten, die mit t im Funktionsterm verwendet wird.

Nehmen wir ein anderes Beispiel:

Gegeben sei t=-2 und P(2😱1). Wir setzen es wieder in die Gleichung ein und lösen dieses Mal nach m auf.

1=Meter*2+2丨-2

-3=Meter*2丨:2

-1,5=Meter

In diesem Fall lautet die Gleichung der Geraden: f(x) = -1,5*x + 2

Stellen Sie die Gleichung einer Geraden aus zwei Punkten auf

Wenn Sie nur zwei Punkte erhalten, dauert die Erstellung der Geradengleichung länger, ist aber nicht so schwierig. Berechnen Sie zunächst die Steigung mithilfe der Formel

Dann können Sie die Steigung und einen Punkt wieder in die Gleichung einsetzen und nach t auflösen.

Beispiel:

Gegeben seien die Punkte P(-1|1) und Q(2|3).

Wir berechnen die Steigung:

Jetzt können wir m und den Punkt Q in die Gleichung einsetzen und nach t auflösen:

Die Geradengleichung lautet:

Null Punkte

Um den Bezugspunkt, den x-Achsenabschnitt, zu bestimmen, gehen Sie genauso vor wie bei der Bestimmung des y-Achsenabschnitts. Demnach kann man problemlos Null im Koordinatensystem ablesen. Jede Wurzel hat einen y-Wert von 0, sodass Sie y=0 in die Funktionsgleichung einsetzen können. Lösen Sie dann die Gleichung nach x auf und erhalten Sie den x-Wert der Wurzel.

Schauen wir uns ein Beispiel der Funktion f(x)=2*x+5 an:

0=2*x+5×-5

-5= 2*x丨:2

-2,5= x

Der Nullpunkt der Funktion f(x)=2*x+5 liegt also im Punkt P(-2,5|0).

Die horizontale Linie in der Funktion f(x)=t hat keine Wurzeln. Die einzige Ausnahme ist f(x)=0. Diese Funktion ist dieselbe wie die x-Achse, hat also unendlich viele Nullen.

Lage der Linien: schneidend oder parallel?

Eine gerade Linie kann steigen, fallen oder horizontal bleiben. Bei zwei linearen Funktionsgleichungen kann überprüft werden, ob sie sich schneiden oder parallel zueinander sind. Zwei parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Obwohl die y-Achsenabschnitte gleich sind, können Sie sehen, dass die Funktionen gleich sind.

Hier ist eine Zusammenfassung paralleler, identischer oder sich schneidender Linien:

Berechnen Sie den Schnittpunkt

Manchmal kann man den Schnittpunkt im Koordinatensystem einfach ablesen. Man kann es aber auch berechnen. Setzen Sie dazu die beiden Funktionsgleichungen der Geraden gleich und lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach x auf. Jetzt können Sie x in eine der beiden Funktionen einfügen und den y-Wert am Schnittpunkt erhalten. Um zu überprüfen, ob du richtig gerechnet hast, gibst du auch die x-Werte in die zweite Funktion ein.

Beispiel:

f(x)= 5*x + 2

h(x)= 1*x + 3

5*x+2 = 1*x + 3丨-1x

4*x + 2 = 3 丨-2

4*x = 1 丨:4

x = 0,25

y= 5*0,25 + 2 = 1,25 + 2 = 3,25

Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt im Punkt P (0,25–3,25).

Aber nicht jedes lineare Gleichungssystem hat einen Schnittpunkt. Wenn kein explizites x erscheint, spricht man von einer geneigten Linie.

Nickwinkel berechnen

Manchmal kann es interessant sein, nicht nur die Steigung der Linie zu kennen. Sie können auch den Neigungswinkel berechnen. Pitch und

Angegeben. Wenn Sie ein Neigungsdreieck auf einer aufsteigenden Linie zeichnen, ist es der Winkel links vom rechten Winkel auf dieser Linie.

Da sich die Innenwinkel in einem Dreieck immer zu 180° addieren, ergibt sich in einem Steigungsdreieck ein Winkel von 90°

Wenn die Funktion eine positive Steigung hat, muss die Steigung in die Berechnung einbezogen werden

Für Funktionen mit negativer Steigung können Sie auch die Steigung berechnen

Sie müssen plus 180° rechnen, sonst erhalten Sie negative Ergebnisse. Denn es gilt: Winkel können nicht negativ sein.

Sie können nicht nur den Neigungswinkel berechnen, sondern auch den Winkel der x- und y-Achse. Diese Winkel werden Schnittwinkel genannt.

Liste linearer Funktionen

• Lineare Funktionen stellen eine lineare Beziehung zwischen einem definierten Bereich und einem Wertebereich her.
• Die Funktionsgleichung lautet: f(x)=m*x + t
• m ist die Steigung und t der y-Achsenabschnitt der linearen Funktion.
• Die Gleichung einer Geraden kann mithilfe von zwei Punkten bestimmt werden, einem Punkt und der Steigung oder einem Punkt und dem y-Achsenabschnitt.
• Zwei Geraden können sich schneiden oder parallel sein.

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