Funktionsmathematik Einfache Erklärung (2023)

Funktionale Mathematik: Verschiedene Formen

zu welchem ​​Thema Sie beitragenMathematik am GymnasiumNicht verpassen: Funktionen. Sie gehören zur Berufsgruppe“Funktion und Analyse“ und treffen Sie in verschiedenen Formaten. Wir erklären Ihnen, was eine Funktion ist, welche grundlegenden Dinge Sie wissen und welche Funktionen Sie für das Abi beherrschen müssen.

Inhaltsverzeichnis

1. Definition
2. Domain
3. Bereiche
4. funktionsgraf
5. verschiedene Funktionen
6. wichtige Frage
7. Überblick

Definition: Was ist eine Funktion?

mathematische FunktionsdarstellungBeziehung zwischen zwei VariablenDiese beiden Variablen sind miteinander verknüpft. Das bedeutet, dass Sie einen Wert einem anderen zuordnen, weil zwischen ihnen eine Beziehung besteht.

Die Elemente dieser Mengen werden normalerweise definiert alsx und yAngegeben. Die Menge selbst ist unterschiedlichDomäne und Bereich.Das bedeutet: Die x-Werte bilden die Definition und die y-Werte den Wertebereich. Der Definitionsbereich ist durch D und der Wertebereich durch W gegeben. Sie können die Funktion selbst mit verwendenGleichungbeschreiben und handeln alsfunktionsgrafAusgedrückt in einem Koordinatensystem.

Domain

das hierD-DomäneGibt an, welche Werte (also Zahlen) Sie in der Funktion von x verwenden können. Alle diese Zahlen führen dann zur Definitionsmenge. Um herauszufinden, was der Definitionssatz ist, müssen Sie Folgendes tunBerücksichtigen Sie bestimmte Bedingungen.Diese legen fest, welche Zahlen nicht in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen:

• VielleichtDer Nenner ist nicht NullStand.
• Vielleichtkeine negativen Zahlen unter der WurzelStand.
• VielleichtLogarithmus, der nicht negativ oder Null istSei.

Nach diesem Ausschlussprinzip kann beurteilt werden, welche Zahlen nicht im Definitionssatz enthalten sind. Sie können beliebige andere Zahlen in den Definitionssatz einfügen. Ihre zentrale Frage lautet also immer:Welche Zahlen kann ich für x verwenden?

Beispiele für Definitionssätze

Beispiel 1:

Um den Bereich dieser Funktion zu bestimmen, berücksichtigen Sie Folgendes:Nach den oben genannten Regeln, verfügbar für x. Sie können hier alles außer Null verwenden, da der Nenner keine Nullen enthalten darf (und Sie im Allgemeinen nicht durch Null dividieren können).

Beispiel 2:

Auch hier stellt man sich die Frage: Mit welcher Zahl kann man x darstellen? Antwort: Sie können jeden Wert außer -1 verwenden. Denn 1-1 ist gleich 0 – und man kann nicht durch Null dividieren!

Beispiel 3:

Denken Sie an die Regel „keine negativen Zahlen unter der Quadratwurzel“. Da man aus negativen Zahlen nicht die Quadratwurzel berechnen kann, werden alle negativen Zahlen verworfen. Ansonsten können Sie alle positiven Zahlen und Null verwenden.

Bereiche

WertebereichsdarstellungWelche Werte können dabei herauskommen, wenn jede Zahl in der definierten Menge von x mit der Funktion verbunden ist. Es gibt auchunter bestimmten Bedingungen, du solltest in Betracht ziehen:

• Wenn x eine gerade Potenz ist, kann das Ergebnis nur positiv oder Null sein.
• Außerdem kann die Quadratwurzel von x nur positiv oder Null sein.
• Wenn x im Nenner eines Bruchs steht, dessen Zähler nicht 0 sein kann, kann Null nicht in der Wertemenge enthalten sein, da die Funktion niemals Null sein kann.
• Sinus und Cosinus können nur Werte zwischen -1 und 1 liefern.
• Wenn x im Exponenten steht, werden nur positive Zahlen (mit positiver Basis) zurückgegeben, d. h. keine negativen Werte oder Nullen.

Beispiel für einen Wertesatz

Beispiel 1:

Überlegen Sie zunächst, welche Zahlen Sie mit dem Definitionssatz ermitteln können. Daraus ist ersichtlich, dass sienicht NullWahrscheinlich (da Null nicht im Nenner sein kann). Daher kann der Wertebereich alles andere als Null sein, denn wenn man 1 durch einen beliebigen Wert dividiert, ist das Ergebnis niemals Null.

Beispiel 2:

Was kann dabei herauskommen? Jeder Wert außer Null: Wenn Sie zwei durch einen beliebigen Wert dividieren, ist dies möglichniemals Nullherauskommen

Beispiel 3:

Zieht man die Quadratwurzel, darf das Ergebnis nicht negativ sein. Daher das Ergebnispositiv oder NullUnd.

Du schon wiederalles positiv oder nullDenn wenn man etwas quadriert, ist das Ergebnis nie negativ.

funktionsgraf

Sie können eine Funktion erstellenexistiert Die Form des Kartenfunktionsgraphen.Sie haben diese beiden in einem vereintKoordinatensystemEin Koordinatensystem besteht aus zwei Achsen x und y, die im rechten Winkel angeordnet sind und sich im Ursprung schneiden. Jeder Punkt P hat also eine x- und eine y-Koordinate.

Der Graph der Funktion f besteht aus allenWertepaar (x;y)X durchläuft den Definitionsbereich der Funktion. es gilt immery = f(x).Sie können sich Wertepaare als Punkte in einem Koordinatensystem (x|y) vorstellen und sie als Funktionsgraphen visualisieren.

Verschiedene Funktionen: welche Sie kennen sollten

Lineare Funktionen, Umkehrfunktionen, logarithmische Funktionen – im Mathematikunterricht werden Sie auf verschiedene Arten von Funktionen stoßen.Jeder Funktionstyp hat unterschiedliche Eigenschaften, das zeigen wir Ihnen hier übersichtlich.

Grundsätzlich sollten Sie folgende Funktionstypen kennen:

• Power-Funktion
• völlig rationale Funktion
• Exponentialfunktion
• Logarithmische Funktion
• Trigonometrische Funktionen

Power-Funktion

Eine Potenzfunktion ist eine FunktionFunktionsausdruckf(x)=xn.

Eine Potenzfunktion ist also eine Funktion wovariable LeistungsbasisJa. Der Exponent des Funktionsterms bestimmt die Eigenschaften der Potenzfunktion. das alles sind:

• Jede Potenzfunktion istSymmetrisch.
• Mithilfe der Monotonie können Sie prüfen, ob der Wert einer Funktion zu- oder abnimmt. damit Sie es finden könnenExtrempunkte und PlateaupunkteFunktion.
• Ob die Krümmungsbeschreibung funktioniertim Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn BiegenJa. Dadurch können Sie feststellen, ob die Extrempunkte hoch oder niedrig sind.

Alle diese Eigenschaften müssen beim Zeichnen von Funktionsgraphen berücksichtigt werden.

Exponentialfunktion

Wenn Sie die Variable unten in der Potenzfunktion finden, befindet sich dort die Variable für die Exponentialfunktionim Index.Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:f(x) = Achse

Für Exponentialfunktionen funktioniert Folgendes:

• Kardinalität (a) muss vorhanden seinpositive reelle ZahlJa. Es gilt also: a∈R > 0, a ≠ 1
• HaarZwei Arten von Exponentialfunktionen: Die erste Exponentialfunktion mit einer Basis größer als 1 und die zweite Exponentialfunktion mit einer Basis zwischen 0 und 1.
• Für die Angelegenheit1 (a>1)Dabei gilt: Je größer a, desto steiler die Kurve
• Für die Angelegenheit2 (0Dabei gilt: Je kleiner a, desto steiler die Kurve.
• Funktionsgraph ausführensteigt, wenn a>1Undfällt auf 0.
• Der Graph der Funktion läuft durchpunkt(0|1).
• Die Funktion hatnichts Null.
• Die Abbildung zeigtkein symmetrisches Verhalten.

Auch der Graph der Exponentialfunktionentlang der x-Achse bewegen.es geht überVerschiebungskonstante c.Es verschiebt den Graphen um c Einheiten parallel zur x-Achse. Wenn c positiv ist, wird der Graph nach links verschoben, und wenn c negativ ist, wird der Graph nach rechts verschoben. Dann schreiben Sie die Funktionsgleichung wie folgt um:f(x)=ax+c

ändernAuch entlang der y-AchseEs gilt die Regel: Ist die Verschiebungskonstante d positiv, wird der Graph nach oben verschoben, ist sie negativ, wird der Graph nach unten verschoben. Dann lautet die Funktionsgleichung:f(x)=ax+dSchichten können auch kombiniert werden.

völlig rationale Funktion

niedriger als einsvöllig rationale FunktionFunktionen in Form verstehen

f(x)= an*xn+an-1*xn-1+...+a2*x2+a1*x+a0

Auch rationale Funktionen genanntPolynomfunktionAngegeben.

Der Begriff „vollkommen rationale Funktion“ lautetOberbegriff für andere Arten von FunktionenWas Sie aus dem Mathematikunterricht wissen:

• Inkonstant funktion, eine Integralfunktion vom Grad 0.
  Die Funktionsgleichung lautet:f(x)=c
• Inlineare Funktion, eine Integralfunktion vom Grad 1.
  Die Funktionsgleichung lautet:f(x)= m*x+t
• InQuadratische Funktion, eine quadratische Integralfunktion. Die Funktionsgleichung lautet:f(x)=a*x2 +b*x+c

Logarithmische Funktion

sterbenDie Umkehrfunktion der Exponentialfunktionist eine logarithmische Funktion. Es bedeutetVariable ist invertiert.Bei logarithmischen Funktionen hat dies den Vorteil, dass die x-Werte nicht wie bei Exponentialfunktionen im Exponenten stehen. Dies erleichtert die Berechnung.

Die logarithmische Funktion hat die Formy = logarithmisch.

Für logarithmische Funktionen:

• Sie habenpunkt P(1|0)Zusammen.
• du bist verlorenNur in den Quadranten 1 und 4.
• Die Funktion nähert sich immer der y-Achse, wenn der x-Wert gegen Null geht.aber schneid es nicht.
• Die Bereiche dieser Funktionen umfassenalle x-Werte größer als Null.
• bilden eine Reihe von Wertenalles echte y-Werte.

Trigonometrische Funktionen

Unter dem Namen werden Sie auch auf trigonometrische Funktionen stoßenWinkel- oder Kreisfunktion.Als Oberbegriff umfassen sie die Funktionen Sinus sin(x), Cosinus cos(x) und Tangens tan(x).

• sinus funktion: Eine Funktion, die den bekannten Sinus des Winkels sin(α) von einem rechtwinkligen Dreieck auf den gesamten reellen Bereich R erweitert.
• Kosinusfunktion: eine Funktion, die den bekannten Kosinus vom rechtwinkligen Dreieck cos(α) auf den gesamten reellen Bereich R erweitert.
• Durch Umschalten können Sie eine Sinusfunktion in eine Kosinusfunktion umwandeln und umgekehrt.
• Tangent funktion: Es ist periodisch, aber nicht kontinuierlich, sodass es aussieht, als würde immer eine neue Kurve beginnen.

Was Sie sonst noch über Trigonometrie wissen sollten:

• Nullen, Pole und alle Punkte basieren auf EinsVielfache von pi.
• Trigonometrische Funktionen werden einem Winkel zugeordnetpassendes Seitenverhältnisankommen.
• sterbenperiodischGibt an, dass sich der Wert einer Funktion nach einem konstanten Abstand immer wieder wiederholt. Die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen sind periodisch.
• Die Sinus- und Tangensfunktionen sindPunk-Symmetrie, das ist die KosinusfunktionAchsensymmetrischzur y-Achse.
• Sinus- und KosinusfunktionenMonotonie zwischen Extrempunkten ändernDie Tangensfunktion ist über den gesamten Bereich streng steigend.

wichtige Frage

Was sind die Funktionen?

Da sind vieleverschiedene Arten von FunktionenZu den Funktionen, denen Sie im Mathematikunterricht begegnen, gehören exponentielle, logarithmische und vollkommen rationale Funktionen wie lineare oder konstante Funktionen.

Welche Funktion hat die einfache Erklärung?

Funktion ist die Beziehung zwischenzwei Beträge.Jeder Sammlung wird ein x- und y-Wert zugewiesen.

Was ist ein Funktionsbeispiel?

Ein Beispiel für eine Funktion istLineare Funktion, ExponentialfunktionoderLogarithmische Funktion.

Überblick: Funktionale Mathematik

• Eine Funktion beinhaltetFunktionsgleichungen, Definitionsmengen und Wertemengen.
• Jede Funktion hat eineFunktionsgleichungund können zu einem kombiniert werdenfunktionsgrafvertreten sein.
• Haarverschiedene Arten von Funktionen, die durch ihre Attribute definiert werden.
• Zum Beispiel die Funktion, die Sie aus dem Mathematikunterricht kennenIntegrale, exponentielle, logarithmische und trigonometrische Funktionen.