▷Einfache Erklärung der funktionalen Mathematik (2023)

Funktionale Mathematik: Ein wichtiges Thema im Mathematikunterricht. | Foto: Ferhat Kesler/Getty Images

Definition: Was ist eine Funktion?

Mathematische Funktionen stellen die Beziehung zwischen zwei Variablen dar. Diese beiden Variablen sind miteinander verknüpft. Das bedeutet, dass Sie einen Wert einem anderen zuordnen, weil zwischen ihnen eine Beziehung besteht.

Die Elemente dieser Mengen werden üblicherweise mit x und y bezeichnet. Die Sets selbst unterscheiden sich in Domäne und Umfang. Das bedeutet: Die x-Werte bilden die Definition und die y-Werte den Wertebereich. Der Definitionsbereich ist durch D und der Wertebereich durch W gegeben. Sie können die Funktion selbst mit einer Gleichung beschreiben und als Graphen der Funktion in einem Koordinatensystem darstellen.

Hinweis: Jedem x im Definitionssatz wird im Wertesatz explizit ein y zugewiesen.

Domain

Domäne D stellt dar, welche Werte (d. h. Zahlen) Sie in der Funktion von x verwenden können. Alle diese Zahlen führen dann zur Definitionsmenge. Um herauszufinden, was eine Domain ist, müssen Sie bestimmte Kriterien berücksichtigen. Diese legen fest, welche Zahlen Sie nicht in Funktionsgleichungen einsetzen dürfen:

• Der Nenner darf keine Null enthalten.
• Unter der Wurzel dürfen keine negativen Zahlen stehen.
• Sie können keine negativen Zahlen oder Nullen protokollieren.

Nach diesem Ausschlussprinzip kann beurteilt werden, welche Zahlen nicht im Definitionssatz enthalten sind. Sie können beliebige andere Zahlen in den Definitionssatz einfügen. Ihre Kernfrage lautet also immer: Welche Zahlen kann ich für x verwenden?

Beispiele für Definitionssätze

Beispiel 1:

Um den Definitionsbereich dieser Funktion zu bestimmen, überlegen Sie, was x gemäß den oben genannten Regeln ersetzen kann. Sie können hier alles außer Null verwenden, da der Nenner keine Nullen enthalten darf (und Sie im Allgemeinen nicht durch Null dividieren können).

Beispiel 2:

Auch hier stellt man sich die Frage: Mit welcher Zahl kann man x darstellen? Antwort: Sie können jeden Wert außer -1 verwenden. Denn 1-1 ist gleich 0 – und man kann nicht durch Null dividieren!

Beispiel 3:

Denken Sie an die Regel „keine negativen Zahlen unter der Quadratwurzel“. Da man aus negativen Zahlen nicht die Quadratwurzel berechnen kann, werden alle negativen Zahlen verworfen. Ansonsten können Sie alle positiven Zahlen und Nullen verwenden.

Bereiche

Der Wertebereich sagt Ihnen, welche y-Werte Sie erhalten könnten, wenn Sie jede Zahl in der definierten Menge von x in die Funktion einfügen würden. Auch hier müssen Sie auf bestimmte Bedingungen achten:

• Wenn x eine gerade Potenz ist, kann das Ergebnis nur positiv oder Null sein.
• Außerdem kann die Quadratwurzel von x nur positiv oder Null sein.
• Wenn x im Nenner eines Bruchs steht, dessen Zähler nicht 0 sein kann, kann Null nicht in der Wertemenge enthalten sein, da die Funktion niemals Null sein kann.
• Sinus und Cosinus können nur Werte zwischen -1 und 1 liefern.
• Wenn x im Exponenten steht, werden nur positive Zahlen (mit positiver Basis) zurückgegeben, d. h. keine negativen Werte oder Nullen.

Beispiel für einen Wertesatz

Beispiel 1:

Überlegen Sie zunächst, welche Zahlen Sie mit dem Definitionssatz ermitteln können. Daraus wissen Sie, dass es nicht Null sein kann (weil Null nicht im Nenner sein kann). Daher kann der Wertebereich alles andere als Null sein, denn wenn man 1 durch einen beliebigen Wert dividiert, ist das Ergebnis niemals Null.

Beispiel 2:

Was kann dabei herauskommen? Jeder Wert ungleich Null: Wenn Sie zwei durch einen beliebigen Wert dividieren, erhalten Sie nie Null.

Beispiel 3:

Zieht man die Quadratwurzel, darf das Ergebnis nicht negativ sein. Daher kann das Ergebnis positiv oder null sein.

Y kann auch jede positive Zahl oder Null sein, denn wenn man etwas quadriert, ist das Ergebnis nie negativ.

funktionsgraf

Sie können eine Funktion in Form eines Funktionsgraphen darstellen. Sie stellen es mit einem Koordinatensystem dar. Ein Koordinatensystem besteht aus zwei Achsen x und y, die im rechten Winkel angeordnet sind und sich im Nullpunkt schneiden. Jeder Punkt P hat also eine x- und eine y-Koordinate.

Der Graph der Funktion f besteht aus allen Wertepaaren (x;y). X durchläuft den Definitionsbereich der Funktion. es gilt immery = f(x).Sie können sich Wertepaare als Punkte in einem Koordinatensystem (x|y) vorstellen und sie als Funktionsgraphen visualisieren.

Verschiedene Funktionen: welche Sie kennen sollten

Lineare Funktionen, Umkehrfunktionen, logarithmische Funktionen – im Mathematikunterricht werden Sie auf verschiedene Arten von Funktionen stoßen. Jeder Funktionstyp verfügt über unterschiedliche Eigenschaften, die wir Ihnen hier im Überblick zeigen.

Grundsätzlich sollten Sie folgende Funktionstypen kennen:

• Power-Funktion
• völlig rationale Funktion
• Exponentialfunktion
• Logarithmische Funktion
• Trigonometrische Funktionen

Power-Funktion

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion mit einem Funktionstermf(x)=xn.

Eine Potenzfunktion ist also eine Funktion, bei der die Variable die Basis der Potenz ist. Der Exponent des Funktionsterms bestimmt die Eigenschaften der Potenzfunktion. das alles sind:

• Jede Potenzfunktion ist symmetrisch.
• Mithilfe der Monotonie können Sie prüfen, ob der Wert einer Funktion zu- oder abnimmt. Dadurch können Sie bestimmen, wo die Extrema und Plateaupunkte der Funktion liegen.
• Die Krümmung beschreibt, ob die Funktion im oder gegen den Uhrzeigersinn gekrümmt ist. Dadurch können Sie feststellen, ob die Extrempunkte hoch oder niedrig sind.

Alle diese Eigenschaften müssen beim Zeichnen von Funktionsgraphen berücksichtigt werden.

völlig rationale Funktion

Eine rationale Funktion ist eine Funktion der Form

f(x)= an*xn+an-1*xn-1+...+a2*x2+a1*x+a0

Vollkommen rationale Funktionen werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet.

Der Begriff „alle rationalen Funktionen“ ist ein Oberbegriff für andere Arten von Funktionen, die Sie aus dem Mathematikunterricht kennen:

• Konstante Funktion, 0-Grad-Integralfunktion.
  Die Funktionsgleichung lautet:f(x)=c
• Lineare Funktion, Integralfunktion vom Grad 1.
  Die Funktionsgleichung lautet:f(x)= m*x+t
• Quadratische Funktion, quadratische Integralfunktion. Die Funktionsgleichung lautet:f(x)=a*x2 +b*x+c

Logarithmische Funktion

Die Umkehrung der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion. Dies bedeutet, dass die Variablen umgekehrt sind. Dies hat bei logarithmischen Funktionen den Vorteil, dass die x-Werte nicht wie bei Exponentialfunktionen im Exponenten stehen. Dies erleichtert die Berechnung.

Die logarithmische Funktion hat die Formy = logarithmisch.

Für logarithmische Funktionen:

• Sie haben eines gemeinsam: P(1|0).
• Sie agieren nur im ersten und vierten Quadranten.
• Wenn x-Werte gegen Null gehen, nähert sich die Funktion immer der y-Achse, schneidet sie jedoch nicht.
• Der Definitionsbereich dieser Funktionen besteht aus allen Werten von x größer als Null.

Trigonometrische Funktionen

Unter Winkel- oder Kreisfunktionen eingeben finden Sie auch trigonometrische Funktionen. Als Oberbegriffe zählen dazu die Funktionen Sinus sin(x), Cosinus cos(x) und Tangens tan(x).

• Sinusfunktion: Eine Funktion, die den Sinus des bekannten Winkels sin(α) von einem rechtwinkligen Dreieck auf die gesamte reale Fläche R erweitert.
• Kosinusfunktion: Eine Funktion, die den bekannten Kosinus vom rechtwinkligen Dreieck cos(α) auf den gesamten reellen Zahlenkörper R erweitert.
• Durch Umschalten können Sie eine Sinusfunktion in eine Kosinusfunktion umwandeln und umgekehrt.
• Tangentenfunktion: Sie ist periodisch, aber nicht kontinuierlich, sodass es aussieht, als würde immer eine neue Kurve beginnen.

Was Sie sonst noch über Trigonometrie wissen sollten:

• Nullstellen, Pole und alle Punkte basieren auf Vielfachen von π.
• Trigonometrische Funktionen weisen Winkeln entsprechende Seitenverhältnisse zu.
• Periodizität bedeutet, dass sich der Wert einer Funktion nach einem konstanten Abstand immer wieder wiederholt. Die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen sind periodisch.
• Die Sinus- und Tangensfunktionen sind punktsymmetrisch und die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch um die y-Achse.
• Die Sinus- und Kosinusfunktionen wechseln die Monotonie zwischen den Extrempunkten. Die Tangensfunktion ist über den gesamten Bereich streng steigend.

Überblick: Funktionale Mathematik

• Eine Funktion besteht aus einer Funktionsgleichung, einer Definitionsmenge und einer Wertemenge.
• Jede Funktion hat eine Funktionsgleichung, die durch einen Funktionsgraphen dargestellt werden kann.
• Es gibt verschiedene Arten von Funktionen, die durch ihre Attribute definiert werden.
• Funktionen, die Sie aus dem Mathematikunterricht kennen, sind beispielsweise Integral, Exponential, Logarithmus und Trigonometrie.

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