Bestimmung von Funktionsgleichungen aus Punkten: ein Überblick (2023)

Dazu nehmen Sie den Funktionsgraphen \(f( x)\) und ziehen ihn auseinander, \[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{Q}-y_{ P} } {x_{Q}-x_{ P} }}\] oder lesen Sie die Steigung\(m\) aus dem Diagramm ab.

Sie können die Punkte natürlich auch anders benennen.

Die am Anfang des Artikels erwähnten Lektionen sind \(E\,(1|2)\) und \(F\,(3|3)\). Das setzt du nun in die Formel für die Steigung \(m\) ein:

\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-2}{3-1}=\frac{1}{2}\]

Der Gradient ist also \(m=\frac{1}{2}\).

Setzen Sie nun die berechnete Steigung \(m\) und einen der Punkte in die Formel \(y=mx+t\) ein, um \(t\) zu finden. Hier nehmen wir als Beispiel den Punkt \(E\,(1|2)\).

\begin{align}2&=\frac{1}{2}\cdot 1+t=\frac{1}{2}+t&&\left\vert-\frac{1}{2}\right.\\\ \1,5&=t\end{对齐}

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=0,5x+1,5\), Ihre Hausaufgaben werden gespeichert!

Zur Erinnerung: Die Punkte sind \(E\,(1|2)\) und \(F\,(3|3)\). Dies führt zur ersten Gleichung

\begin{align}2&=m\cdot1+t\\\tag{I}2&=m+t\\\end{align}

Die zweite Gleichung lautet:

\begin{align}3&=m\cdot3+t\\\tag{II}3&=3m+t\\\end{align}

Es gibt mehrere Möglichkeiten, ein System linearer Gleichungen zu lösen. hier verfügbarEinstellungsverfahrenexistiert. Dazu geben Sie entwederGleichungfür eine Unbekannte und setzen Sie sie in eine andere Gleichung ein.

\begin{align}\tag{I}2&=m+t&&\vert-t\\\tag{I*}2-t&=m\\\\\tag{I* i II}3&=3(2- t)+t=6-2t&&\vert-6\\-3&=-2t&&\vert:(-2)\\1,5&=t\\\\\tag{t i I*}m&=2-1 , 5\\m&=0,5\\\end{对齐}

Auch hier erhalten Sie eine Steigung von \(0,5\) und einen y-Achsenabschnitt von \(1,5\).

Zeichnen Sie die Punkte \(P\,(1|2)\) und \(Q\,(3|3)\) im Koordinatensystem ein und verbinden Sie sie mit einer Geraden.

Abbildung 2: Steigung und Y-Achsenabschnitt

Jetzt können Sie die Steigung und den Y-Achsenabschnitt ablesen.

Die Steigung ist \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{2}\) und der y-Achsenabschnitt ist \(t=1,5\).

Du hast Punkte\(A\,(2|2)\)Und\(B\,(4|8)\)geben. Dadurch können Sie Gleichungssysteme erstellen und lösen.

\begin{align}\tag{I}2&=a\cdot b^2\\\tag{II}8&=a\cdot b^4\\\\\tag{I}2&=a\cdot b^2&& |:b^2\\\tag{I*}\frac{2}{b^2}&=a\\\\\tag{I* i II}8&=\frac{2}{b^2} \cdot b^4\\8&=2b^2&&|:2&|\sqrt{\quad}\\2&=b\\\\\tag{b i I*}\frac{8}{2^4}& = a\\\frac{1}{2}&=a\end{align}

Die Funktionsgleichung lautet also:\(f(x)=\frac{1}{2}\cdot2^x\)Es sieht so aus als ob:

Abbildung 3: Exponentialfunktion

sterbengenerelle FormInparabelist: \[y=ax^2+bx+c\]

Darüber hinaus gibt es sieScheitelpunktformmed toppunkt \(S\,(x_{s}|y_{s})\) \[y=a(x-x_{s})^2+y_{s}\]

Normalerweise werden die Eckpunkte durch \(S\,(d|e)\) dargestellt, daher lautet die Formel \(y=a(x-e)^2+d\).

UndDegradierte FormZuNull Punkte\(x_{1}\) und \(x_{2}\).\[y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\]

Gegeben sind die Punkte \(A\,(-2|1)\), \(B\,(-1|4)\) und \(C\,(\sqrt{3}|2)\). Um die Funktionsgleichung einer Parabel zu berechnen, kann die Formel \(y=ax^2+bx+c\) verwendet werden. Indem Sie jeweils einen Punkt interpolieren, erhalten Sie das folgende Gleichungssystem, das Sie lösen können.

Setzen Sie zunächst jeden Punkt in die allgemeine Formel für die Parabel ein und Sie erhalten die Gleichung für das Gleichungssystem. Sie können auch zwei von drei Gleichungen gleichzeitig für eine Variable lösen, sodass Sie sie in anderen Gleichungen verwenden können.

\begin{align}1&=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c\\\tag{I}1&=4a-2b+c&&|-4a+2b\\\tag{ I*}1-4a+2b&=c\\\\4&=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c\\\tag{II}4&=a-b+c&&| +b-4\\\tag{II*}b&=a+c-4\\\\2&=a\cdot \sqrt{3}^2+b\cdot \sqrt{3}+v\\\tag {III}2&=3a+\sqrt{3}b+c\end{对齐}

Nun können Sie die Gleichungen ineinander einfügen und so nach und nach die Werte der einzelnen Variablen erhalten. Welche Berechnungsmethode hier verwendet wird, sehen Sie anhand der Zahlen rechts.

\begin{align}\tag{II* i I*}1-4a+2(a+c-4)&=c\\-2a+2c-7&=c&&|-2c\quad|\cdot(-1 )\\\tag{I**}7+2a&=c\\\\\tag{I** i II*}b&=a+7+2a-4\\\tag{II**}b&=3a +3\\\\\tag{III 中的 I** 和 II**}2&=3a+\sqrt{3}(3a+3)+7+2a\\2&=\left(5+3\sqrt{ 3 }\right)a+3\sqrt{3}+7&&\left\vert-3\sqrt{3}-7\right.\\-5-3\sqrt{3}&=\venstre(5+3 \ sqrt{3}\right)a&&\left\vert:\left(5+3\sqrt{3}\right)\right.\\\frac{-5-3\sqrt{3}}{5+3 \ sqrt{3}}&=a\\-1&=a\\\\\tag{a i II**}b&=-1+7+2\cdot(-1)-4\\b&=0\ \ \\\tag{a i I**}7\cdot 2\cdot(-1)&=c\\5&=c\end{align}

Sie haben nun alle Werte gefunden und können diese in der Formel \(y=ax^2+bx+c\) verwenden.\[f(x)=-x^2+5\]

Figur 4: Parabel

Gegeben sei ein Punkt \(A\,(-2|1)\) und ein Scheitelpunkt \(S\,(0|5)\).

Sie können diese Punkte im Scheitelpunkt \(y=a(x-x_{s})^2+y_{s}\) verwenden, um \(a\) zu berechnen.

\begin{align}1&=a(-2-0)^2+5\\1&=4a+5&&|-5\quad|:4\\-1&=a\end{align}

Jetzt können Sie \(a\) und den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform bringen und multiplizieren.

\[y=-1(x-0)^2+5=-x^2+5\]

Die Korrelationsfunktion ist \(f(x)=-x^2+5\).

Gegeben seien die Nullpunkte \(x_{1}=-\sqrt{5}\) und \(x_{2}=\sqrt{5}\) und der Punkt \(A\,(-1|4 )\ ). Setzt man dies in die Faktorisierung ein, erhält man:

\begin{align}4&=a(-1-(-\sqrt{5}))(-1-\sqrt{5})\\4&=-4a&&|:(-4)\\-1&=a\ afslutte {Ausrichtung}

Das Zurücksetzen in die zerlegte Form ergibt:

\[y=-1(x-(-\sqrt{5}))(x-\sqrt{5})=-x^2+5\]

Die Funktionsgleichung lautet also \(f(x)=-x^2+5\)

Bestimmen Sie Funktionsgleichungen höherer Ordnung

Sie können auch zum vorherigen Vorgang zurückkehrenArbeitenÜbertritt in höhere Studiengänge. Grundsätzlich benötigen Sie so viele Informationen, wie Sie Unbekannte haben. Mit „Informationen“ sind aber nicht nur Punkte gemeint, sondern auch bestimmte Eigenschaften, die eine Funktion erfüllen muss.

Mit dieser Formel können Sie ein Gleichungssystem erstellen. Je nachdem, welchen Abschluss Sie suchen, den höheren Abschluss, wie viel x Sie benötigen. Beachten Sie beim Aufbau des Gleichungssystems, dass beispielsweise ein Extrempunkt nicht nur die Information enthält, dass der Graph durch diesen Punkt verläuft, sondern dass an diesem Punkt auch die Ableitung (abhängig von der Art des Extrempunkts) 0 ist. Das haben Sie also eine zweite Gleichung des Gleichungssystems. Dann lösen Sie das Problem und finden die Funktionsgleichung. In der Praxis kann die Rechnung manchmal sehr langwierig sein, aber sie führt zum Ziel.

Aufgabe 1

Es beginnt mit einer linearen Funktion. Bestimmen Sie zunächst mithilfe des Diagramms die Gleichung der Funktion des Diagramms und verwenden Sie dann die gefundene Steigung und einen Punkt, um zu überprüfen, ob Sie es richtig lesen.

Abbildung 5: Bestimmung der linearen Funktion

Lösung

1. Diagramm

Wählen Sie dazu zwei beliebige Punkte im Diagramm aus (vorzugsweise ganzzahlige Punkte) und zeichnen Sie ein Verlaufsdreieck.

Abbildung 6: Lineare Funktion mit Steigungsdreieck

Damit können Sie die Pisten erklimmen\(m=\frac{1}{3}\)Fertig gelesen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei \(y=3\). Diese Werte können in die allgemeine Form einer linearen Funktion eingesetzt werden, um \(f(x)=\frac{1}{3}x+3\) zu erhalten.

2. 2-Punkt-Dom

Mit einer anderen Variante können Sie überprüfen, ob Sie die Steigung korrekt ablesen. Zum Beispiel mit 2 Punkten. Das ist der Punkt\(IN\)sogar der Schnittpunkt mit der y-Achse, also hast du nur\(B\)muss verwendet werden und danach\(M\)\begin{align}y&=mx+t\\4&=m\cdot3+3&&|-3\quad|:3\\\frac{1}{3}&=m\end{align}

Die Funktion lautet also tatsächlich \(f(x)=\frac{1}{3}x+3\).

Übung 2

Bestem funktionsligningen.

Abbildung 7: Bestimmung der Exponentialfunktion

Lösung

Dies ist eine Exponentialfunktion. Die allgemeine Form ist \(y=a\cdot b^x\). Finden Sie zwei passende Punkte in der Grafik, die Sie in diese Tabelle einfügen können. Widme dich hier\(A\,(0|-3)\)Und\(B\,(-1|-6)\)In.

Abbildung 8: Exponentialfunktion mit Punkten

Sie können jetzt lineare Gleichungssysteme erstellen und lösen:

\begin{align}\tag{I}-3&=a\cdot b^0\\-3&=a\\\\-6&=a\cdot b^{-1}\tag{II}-6&=\ frac{a}{b}\\\\\tag{a i II}-6&=\frac{-3}{b}&&|\cdot\frac{b}{-6}\\b&=\frac{ 1 }{2}\结束{对齐}

Daher lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=-3\cdot\frac{1}{2}^x\).

Aufgabe 3

Bestimmen Sie die quadratische Funktion mit Eckpunkten\(S\,(2|-3)\) und Punkten\(P\,(4|-1)\).

Lösung

Nachdem nun die Eckpunkte angegeben sind, wird der Eckpunkt \(y=a(x-x_{s})^2+y_{s}\) benötigt, um dieses Problem zu lösen. Dividende einfügen:

\begin{align}-1&=a(x-2)^2-3\\-1&=4a-3&&|+3&&|:4\\\frac{1}{2}&=a\end{align}

Sie können nun das Ergebnis von \(a\) und dem Vertex wieder in den Vertex einfügen und ihn kürzen.

\begin{align}y&=\frac{1}{2}(x-2)^2-3\\y&=\frac{1}{2}x^2-2x-1\end{align}

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x-1\).

Abbildung 9: Quadratische Funktion mit Eckpunkten

Bestimmung von Funktionsgleichungen aus Punkten – das Wichtigste

1. Welche Art von Funktionalität suchen Sie? Diese Frage ist entscheidend für die Wahl der Formel. Die Grundregel lautet: Es müssen so viele Punkte verwendet werden, wie es Unbekannte gibt.

   1. Lineare Funktion: \(y=mx+t\)

   2. Exponentialfunktion: \(y=a^x+c\)

   3. Quadratische Funktion:

      1. Allgemeine Form: \(y=ax^2+bx+c\)

      2. Topform \(y=a(x-x_{s})^2+y_{s}\)

      3. Dekomponierungsform: \(y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\)

2. Erstellt ein Gleichungssystem, indem alle Punkte in die ausgewählte Formel eingefügt und gelöst werden. Sie können dies tun, indem Sie \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_ { P}}\) oder verwenden den Hang nutzen. Dreiecke lesen sie aus dem Diagramm.

3. Setzen Sie die berechnete Unbekannte ohne Punkte und Zeiten in die Formel ein. Sie haben nun die Funktionsgleichung gefunden.

beweisen

1. Bednarski, Dario (2019), Mathematik-Analyse gegen Mathematiker, RIVA VERLAG
2. Partoll, Heinz & Wagner, Irmgard (2010), Mathe macchiato Analysis, 2. aktualisierte Auflage, Pearson Studies